Przykłady dotyczące równania Laplace’a i równania przewodnictwa cieplnego
Pokazać, że problem Cauchy'ego
w klasie funkcji \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) różniczkowalnych względem \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) i takich, że \( \hskip 0.3pc u(\cdot ,t)\in C^2(\mathbb R)\cap L^2(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t\in (0,+\infty )\hskip 0.3pc \), posiada co najwyżej jedno rozwiązanie.
Istotnie, przypuśćmy, że \( \hskip 0.3pc u_1,\hskip 0.3pc u_2\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami tego problemu. Oczywiście \( \hskip 0.3pc v= u_2-u_1\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu
Połóżmy
Po zróżniczkowaniu względem \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) i scałkowaniu przez części względem \( \hskip 0.3pc x,\hskip 0.3pc \) otrzymamy:
Zatem \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) jest funkcją malejącą, nieujemną i ponadto \( \hskip 0.3pc \varphi (0)=0\hskip 0.3pc \). Wynika stąd natychmiast, że \( \hskip 0.3pc \varphi =0,\hskip 0.3pc \) a w konsekwencji \( \hskip 0.3pc v=0,\hskip 0.3pc \) co kończy dowód.
Niech \( \hskip 0.3pc \Omega \subset\mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie obszarem jednospójnym o brzegu klasy \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc \).
Pokazać, że jeśli \( \hskip 0.3pc u \in C^2(\Omega )\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu
gdzie \( \hskip 0.3pc \upsilon\hskip 0.3pc \) oznacza normalną do \( \hskip 0.3pc \partial \Omega,\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) musi być funkcją stałą.
Istotnie, korzystając z równości \( \hskip 0.3pc \Delta u=0\hskip 0.3pc \), wzoru 6 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" oraz warunku brzegowego, otrzymamy
Zatem \( \hskip 0.3pc \nabla u=0\hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \) skąd wynika, że \( \hskip 0.3pc u=const\hskip 0.3pc \).
posiada co najwyżej jedno rozwiązanie.
Istotnie, przypuśćmy, że \( \hskip 0.3pc u_1,\hskip 0.3pc \) \( u_2\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami tego problemu. Wówczas funkcja \( \hskip 0.3pc v=u_2-u_1\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu
Korzystając z równości \( \hskip 0.3pc \Delta v-cv=0\hskip 0.3pc \) oraz wzoru 6 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" otrzymamy
W następnych przykładach rozwiniemy pomysły które wykorzystaliśmy dla znalezienia rozwiązań fundamentalnych dla równania Laplace'a oraz równania przewodnictwa cieplnego. W pierwszym przypadku szukaliśmy rozwiązań radialnych, w drugim rozwiązań wzdłuż specjalnie dobranych krzywych (powierzchni). Idea metody polega na redukcji ilości zmiennych niezależnych, a w sytuacji optymalnej, na sprowadzeniu problemu do rozwiązania równania zwyczajnego.
Istotnie, kładąc \( \hskip 0.3pc u(x)=v(r)\hskip 0.3pc \), gdzie \( \hskip 0.3pc r=\|x\|=\sqrt{x_1^2+\ldots +x_n^2},\hskip 0.3pc \) równanie wyjściowe możemy zapisać w postaci
Ponieważ \( \hskip 0.3pc \nabla v(r)=v^\prime(r)\dfrac xr,\hskip 0.3pc \) zatem \( \hskip 0.3pc r\nabla v(r)=v^\prime(r)x.\hskip 0.3pc \) W konsekwencji
W celu wyznaczenia funkcji \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) należy rozwiązać równanie
co daje
Zatem
Jeśli dodatkowo zażądamy aby \( \hskip 0.3pc \displaystyle\lim_{r\to \infty}v(r)=0,\hskip 0.3pc \) wówczas \( \hskip 0.3pc B=0\hskip 0.3pc \), a rozwiązanie przyjmuje postać
gdzie \( \hskip 0.3pc C=\dfrac A{1-n}.\hskip 0.3pc \)
Przechodząc do nowych zmiennych niezależnych \( \hskip 0.3pc (y,\tau )\hskip 0.3pc \) danych wzorami
gdzie \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) jest parametrem, równanie wyjściowe przyjmie postać
gdzie \( \hskip 0.3pc w(y,\tau )= u(y\lambda ^{-\alpha },\tau \lambda ^{-\beta }).\hskip 0.3pc \) Jeśli \( \hskip 0.3pc \beta =2\alpha, \hskip 0.3pc \) z ostatniego równania możemy wyrugować parametr \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) i otrzymamy równanie
czyli równanie wyjściowe. Oznacza to, że wzdłuż krzywej \( \hskip 0.3pc \{(x\lambda ^{-\alpha },t \lambda ^{-2\alpha }):\lambda \in \mathbb R\}\hskip 0.3pc \) rozwiązanie jest stałe (nie zależy od parametru \( \hskip 0.3pc \lambda. \hskip 0.3pc \)) Obserwacja ta sugeruje, że należy szukać rozwiązania równania wyjściowego postaci
Przyjmując powyższe podstawienie i kładąc \( \hskip 0.3pc z=\dfrac {x}{\sqrt t},\hskip 0.3pc \) równanie wyjściowe zredukujemy do równania różniczkowego zwyczajnego
Oczywiście każde rozwiązanie tego równania generuje rozwiązanie równania wyjściowego.
Podobnie jak w przykładzie poprzednim chcemy zredukowć powyższe równanie o dwóch zmiennych niezależnych \( \hskip 0.3pc (x,t)\hskip 0.3pc \) do równania o jednej zmiennej. W tym celu rozważmy przekształcenie
gdzie \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) jest parametrem. Stosując to przekształcenie do równania wyjściowego otrzymamy
Jeśli \( \hskip 0.3pc 1-\beta =1-2\alpha =2-\alpha,\hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc \alpha=-1,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \beta =-2,\hskip 0.3pc \) z ostatniego równania możemy wyeliminować parametr \( \hskip 0.3pc \lambda, \hskip 0.3pc \) a równanie przyjmie postać
Oznacza to, że przekształcenie \( \hskip 0.3pc u=\lambda w,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc x=\lambda ^{-1}y,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t=\lambda^{-2}\tau,\hskip 0.3pc \) przeprowadza równanie wyjściowe w siebie. Z równań \( \hskip 0.3pc y=\lambda x,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \tau = \lambda^2t\hskip 0.3pc \) otrzymamy \( \hskip 0.3pc \lambda = \dfrac xt\,\dfrac{\tau}y.\hskip 0.3pc \) Podstawiając tę wielkość do równania \( \hskip 0.3pc u=\lambda w\hskip 0.3pc \) otrzymamy równość
która mówi, że wzdłuż krzywej \( \hskip 0.3pc \{(\lambda x,\lambda ^2t):\lambda \in \mathbb R\}\hskip 0.3pc \) wielkość \( \hskip 0.3pc \dfrac txu\hskip 0.3pc \) jest stała. Obserwacja ta sugeruje poszukiwanie rozwiązania równania wyjściowego w postaci
Kładąc \( \hskip 0.3pc z=x/\sqrt t\hskip 0.3pc \) i przyjmując powyższe podstawienie równanie wyjściowe zredukujemy do równania różniczkowego zwyczajnego